Fundamentos del Cálculo Diferencial e Integral
Origen y Conceptos Clave
El cálculo diferencial e integral surge para resolver dos problemas antiguos:
- Calcular la pendiente tangente a una curva.
- Calcular el área bajo una curva.
Las soluciones a estos problemas se obtienen mediante el uso de derivadas e integrales.
Denotación de Límites
Se utiliza para expresar cómo una función se comporta cuando la variable independiente se acerca a un valor. Se representa con el símbolo lim, seguido de la variable y la función.
Concepto de Límite
Es el valor al que se aproxima una función cuando la variable se acerca a un punto, sin necesidad de alcanzarlo.
Razón de Cambio Instantánea
Es un límite que representa la pendiente de la recta tangente en el punto $(x, f(x))$.
Recta Tangente
Es una línea que toca una curva (o círculo) en un solo punto.
Pendiente de la Recta Tangente y Derivada
Para $y = f(x)$, la pendiente en $x = a$ se llama derivada de $f(x)$ en $x = a$.
Función Diferenciable
Si $f'(x)$ existe, entonces $f$ es diferenciable en $x = a$.
Reglas Básicas de Derivación
Derivada de una Constante
Siempre es 0, sin importar el valor de la constante.
Derivada de una Función Lineal
Si $f(x) = Ax + B$, su derivada es A.
Derivada de una Potencia
Es el exponente multiplicado por la base elevada al exponente menos 1.
Derivada de una Raíz (Función Irracional)
Es 1 dividido entre el producto del índice de la raíz por la misma raíz con el exponente del radicando reducido en 1.
Derivada de una Función Exponencial
Depende de la base:
- Si la base es e (número de Euler), se usa una fórmula específica.
- Si la base es otro número, se aplica otra regla.
Derivada de una Función Logarítmica
Depende de la base del logaritmo:
- Si es logaritmo natural (base $e$), se aplica una fórmula.
- Si tiene otra base, se aplica otra regla.
Derivadas Trigonométricas Principales
- $(\text{sen } x)’ = \cos x$
- $(\cos x)’ = -\text{sen } x$
- $(\tan x)’ = \sec^2 x$
Reglas de Derivación Compuestas
Permiten derivar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de funciones.
Regla de la Cadena
Para una función compuesta $f(g(x))$:
$(f(g(x)))’ = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
Historia del Pensamiento: De la Filosofía Cristiana a las Corrientes Modernas
Cristianismo y Filosofía
El cristianismo adoptó ideas del pensamiento griego (Platón y Aristóteles) para formar su doctrina, dando origen a dos corrientes principales:
- Patrística: Busca la unión entre fe y razón (influencia platónica).
- Escolástica: Busca explicar la fe mediante la razón (influencia aristotélica).
Primer Siglo del Pensamiento Cristiano
Los primeros cristianos esperaban la segunda venida de Cristo y difundían su fe a través de cartas. Los Evangelios narran su vida y enseñanzas.
Patrística
Esta corriente se divide en etapas:
Apologética (Siglos I-II)
Se centró en la defensa del cristianismo. Sus postulados incluían:
- La fe y la razón se complementan.
- San Justino sostenía que la filosofía griega provenía del judaísmo.
- San Irineo y San Hipólito consideraban que mezclar fe y filosofía podía generar errores.
Media (Siglos III-V)
Intentó la unión formal entre fe y filosofía:
- San Clemente afirmaba que Dios se había revelado progresivamente a los sabios griegos.
- Orígenes enseñó que el Logos (Verbo) actúa como mediador entre Dios y el mundo.
San Agustín de Hipona
Postuló que la verdad reside dentro del ser humano, pero requiere la luz divina para ser alcanzada (Teoría de la Iluminación).
Identificó tres niveles de conocimiento:
- Superior (Sabiduría): Unión con Dios.
- Inferior (Ciencia): Conocimiento racional.
- Sensible: Solo percibe lo cambiante.
En ética, la felicidad se logra al unirse a Dios mediante el amor y la voluntad.
En su obra La Ciudad de Dios, distingue:
- Ciudad de Dios: Basada en la justicia y el amor.
- Ciudad Terrenal: Basada en el egoísmo y la violencia.
Un Estado justo debe seguir la ley divina.
Escolástica
Surge con el desarrollo de las universidades (Siglo XI). Su principio fundamental es que la fe es superior a la razón.
San Anselmo defendía que la razón solo debe servir para comprender la fe.
Santo Tomás de Aquino
Principal pensador escolástico. Sostuvo que Dios es la causa de todo y lo demostró a través de las Cinco Vías:
- Movimiento
- Causa eficiente
- Posibilidad y necesidad (Contingencia)
- Perfección (Grados de ser)
- Orden del mundo (Finalidad)
Afirmó que la razón puede llevar al reconocimiento de Dios.
La Felicidad consiste en contemplar a Dios.
Clasificación de las Virtudes:
- Intelectuales: Relacionadas con el conocimiento.
- Morales: Relacionadas con la buena conducta.
- Teologales: Fe, esperanza y caridad.
Reforma Protestante
Martín Lutero y Ulrico Zuinglio criticaron los abusos de la Iglesia Católica. Propusieron tres principios fundamentales:
- Salvación por la fe (Sola Fide).
- La Biblia como única autoridad (Sola Scriptura).
- Sacerdocio universal.
Lutero publicó las 95 Tesis en 1517. Este movimiento permitió la traducción de la Biblia y reorientó la moral hacia la valoración del trabajo y la riqueza.
Renacimiento y Modernidad
Marca la transición del mundo medieval al moderno. Petrarca acuñó el término “renacimiento”.
Destacan el humanismo (revalorización del ser humano) y el antropocentrismo (el hombre como centro del mundo).
Nicolás Maquiavelo
En su obra El Príncipe, establece que el gobernante debe conservar el poder, incluso si esto implica el uso de medios inmorales (el fin justifica los medios).
Propuso la separación entre Iglesia y Estado.
Identificó dos tipos de gobierno:
- República: Poder compartido.
- Principado: Poder concentrado en una sola persona.
Teorías Contractualistas
Sostienen que el Estado surge de un contrato social implícito entre los individuos.
- Thomas Hobbes: El hombre es inherentemente malo (Homo homini lupus); se necesita un soberano fuerte (monarquía absoluta) para garantizar la paz.
- John Locke: El hombre es racional; el Estado debe defender los derechos naturales: vida, libertad y propiedad (considerado el padre del liberalismo).
- Jean-Jacques Rousseau: El hombre es bueno por naturaleza, pero la sociedad lo corrompe; defiende la soberanía popular y la democracia directa.
Corrientes Filosóficas Modernas
- Racionalismo (Descartes): La razón es la base del conocimiento. Famosa máxima: “Pienso, luego existo” (Cogito, ergo sum).
- Empirismo (Locke, Berkeley, Hume): Todo conocimiento proviene de la experiencia sensible.
- Idealismo Alemán (Kant, Hegel): Busca unir la razón y la experiencia; la realidad es construida en parte por el sujeto.
Materialismo Histórico
Teoría desarrollada por Karl Marx y Friedrich Engels que explica la historia a partir de cómo se producen y distribuyen los bienes materiales.
Conceptos clave:
- La Infraestructura es la base económica (medios y relaciones de producción).
- La Superestructura incluye las leyes, el gobierno, la religión, la educación, la moral y las ideas.
La historia es impulsada por la lucha de clases: los burgueses (propietarios de los medios) contra los proletarios (trabajadores).
Etapas Históricas según Marx
- Comunidad Primitiva: Sin propiedad ni clases sociales.
- Esclavismo: Dominio de unos sobre otros como esclavos.
- Feudalismo: Señores dominan a los siervos.
- Capitalismo: Burgueses explotan a los proletarios.
- Socialismo: El pueblo controla los medios de producción.
- Comunismo: Sociedad sin clases ni propiedad privada.
Psicoanálisis
Teoría de Sigmund Freud centrada en el estudio del inconsciente.
Estructura de la Mente (Topografía)
- Consciente: Lo que se percibe en el momento actual.
- Preconsciente: Recuerdos que pueden ser traídos fácilmente a la mente.
- Inconsciente: Deseos, miedos y traumas reprimidos que influyen en la conducta.
Estructura de la Personalidad
La personalidad se compone de tres instancias:
- Ello (Id): Opera bajo el principio del placer; representa los deseos instintivos (hambre, sexo, agresión).
- Yo (Ego): Opera bajo el principio de realidad; busca soluciones racionales y realistas.
- Superyó (Superego): Representa la conciencia moral y los ideales internalizados (lo que se considera bueno o malo).
Ejemplo de interacción: Al ver dinero tirado, el Ello dice “tómalo”, el Superyó dice “no, es inmoral”, y el Yo busca una solución realista como “entregarlo a seguridad”.