Probabilidad: Conceptos Fundamentales y Distribución Binomial
Conceptos Básicos de Probabilidad
- Fenómeno aleatorio (s): Es aquel que en las mismas condiciones iniciales produce distintos resultados finales.
Ejemplo: lanzar un dado. - Fenómeno determinista: Es aquel que en las mismas condiciones provoca los mismos efectos.
Ejemplo: lanzar un dado trucado. - Prueba: Una prueba del experimento aleatorio (s) es una observación particular del experimento. Ejemplo: cada una de las veces que tiramos un dado es una prueba.
- Espacio muestral (E): Es el conjunto que contiene todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ejemplo: en el lanzamiento de un dado sería $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Tipos de Sucesos
- Suceso elemental: Es el formado por un solo elemento. Ejemplo: en una moneda, [cara] o [cruz].
- Suceso compuesto: Es el formado por dos o más elementos. Ejemplo: en un dado, obtener los pares.
- Suceso seguro: Es aquel que se verifica siempre. Ejemplo: en una moneda, [cara, cruz].
- Suceso imposible: Aquel que no se verifica nunca. Ejemplo: en una moneda, obtener un 7.
- Suceso contrario o complementario ($\bar{A}$): Dado un suceso “A”, el suceso complementario ($\bar{A}$) se verifica cuando A no lo hace. Está formado por los elementos del espacio muestral que no están en A.
Operaciones con Sucesos
Consideramos un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es E. Se definen las siguientes operaciones:
- Unión ($\cup$): $A \cup B \rightarrow$ Ocurre A o B (o ambos).
- Intersección ($\cap$): $A \cap B \rightarrow$ Ocurre A y B simultáneamente.
- Complementario: $\bar{A}$ (Suceso contrario a A).
Sucesos Incompatibles: Dos sucesos son incompatibles cuando no se pueden verificar simultáneamente, es decir, $A \cap B = \emptyset$ (conjunto vacío).
En caso contrario, se dice que son compatibles. Son incompatibles A y $\bar{A}$; B y $\bar{B}$.
Definición Clásica de Probabilidad
La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles. La probabilidad del suceso A se escribe $P(A)$ y es:
$$P(A) = \frac{\text{Número de casos favorables}}{\text{Número de casos posibles}}$$
Propiedades Fundamentales de la Probabilidad
- La probabilidad de un suceso cualquiera toma valores entre 0 y 1: $0 \le P(A) \le 1$.
- La probabilidad del suceso seguro/cierto es la unidad: $P(E) = 1$.
- Si dos sucesos A y B son incompatibles, la probabilidad de su unión es: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
- La probabilidad de la unión de dos sucesos cualquiera es: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$.
- La probabilidad del suceso contrario al suceso A es: $P(\bar{A}) = 1 – P(A)$.
- La probabilidad del suceso imposible es 0: $P(\emptyset) = 0$.
Experimentos Compuestos
Una experiencia compuesta es aquella que está formada por dos o más experiencias simples.
En las experiencias compuestas pueden darse dos tipos:
- Extracciones con reemplazamiento: Son aquellas en las que, después de cada extracción, el elemento extraído se repone. De este modo, cada extracción se realiza en las mismas condiciones que la anterior.
- Extracciones sin reemplazamiento: En ellas, las sucesivas extracciones se realizan sin devolver el elemento anteriormente extraído.
Experimentos Dependientes e Independientes
Una experiencia es independiente cuando el resultado de cada una de ellas no depende de las demás.
Las extracciones con reemplazamiento son independientes. También son independientes el lanzamiento de dados, de una moneda, etc.
Una experiencia es dependiente cuando el resultado de cada una de ellas influye en las probabilidades de las siguientes. Este tipo de probabilidad se llama probabilidad condicionada.
La probabilidad de un suceso A puede verse modificada si ha ocurrido previamente otro suceso B. Para recoger esta influencia entre los sucesos, se define la probabilidad condicionada: $P(A|B)$ (Probabilidad de A dado B).
Se calcula:
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Distribuciones de Probabilidad Discreta
Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones de frecuencias relativas. Las primeras son teóricas y las segundas son empíricas. Ambas distribuciones se representan mediante diagramas de barras.
Variable Estadística Discreta | Distribución de Probabilidad Discreta |
La variable $X$ toma un conjunto de valores aislados. Ejemplo: $X$: 0, 1, 2, 3, $\dots$ El recuento de veces que esos valores se han presentado en una muestra de $N$ individuos se realiza mediante la frecuencia absoluta ($f_i$) y la frecuencia relativa ($h_i$). Los resultados se presentan en una tabla de frecuencias. Parámetros: Media y Desviación Típica. | La variable $X$ también toma un conjunto de valores aislados. $x_i$: $x_1, x_2, \dots x_n$ A cada valor de la variable $x_i$ se le asigna su probabilidad $P(x_i)$. Los resultados también se presentan en una tabla. Media |
Números Combinatorios
Triángulo de Tartaglia (o Triángulo de Pascal)
Características (Generales)
La Distribución de Probabilidad Binomial
Una distribución binomial modela experimentos que tienen solo dos opciones de resultado. Todo suceso tiene un complementario (ej. par, impar). Muchos experimentos quedan determinados por dos sucesos complementarios (ej. hombre, mujer).
En general, a estos dos sucesos contrarios los calificamos como éxito y fracaso.
La distribución de probabilidad discreta que estudia estos experimentos recibe el nombre de Distribución Binomial.
Esta distribución queda caracterizada por los siguientes puntos:
- El resultado de una prueba del experimento aleatorio solo tiene dos únicas opciones, que llamaremos éxito (A) y fracaso ($\bar{A}$).
- Se realizan $n$ ensayos del experimento, independientes uno de otro. Ejemplo: $n=7$ lanzamientos.
- La probabilidad del éxito ($p$) es constante a lo largo de las $n$ pruebas. Por lo tanto, la probabilidad del fracaso ($q$) también es constante.
- $P(\text{Éxito}) = p$ y $P(\text{Fracaso}) = q = 1 – p$.
- La variable aleatoria $X$ cuenta el número de éxitos $K$ en las $n$ pruebas. $X: 0, 1, 2, 3, \dots, n$.
Todo experimento que tenga estas características sigue el modelo de la distribución binomial.
A la variable $X$, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
La variable binomial queda caracterizada por los parámetros $n$ (número de pruebas) y $p$ (probabilidad del éxito) y se escribe $B(n, p)$.
Función de Probabilidad de la Distribución Binomial
Ejemplo Práctico | Teoría General | ||||||
1. Para sacar un 5 en un examen de selección múltiple, con 6 preguntas en las que cada una tiene 4 opciones, tengo que responder bien a 4 de ellas. B: éxito ($p = 1/4 = 0.25$) M: fracaso ($q = 3/4 = 0.75$) La distribución es $B(6; 0.25)$. Consideremos todos los casos posibles: (BBBBMM), (MMBBBB), etc. 2. El número de formas en que podemos obtener 4 aciertos en un conjunto de 6 preguntas se calcula mediante el número combinatorio: $\binom{6}{4} = \frac{6!}{4!2!} = 15$. La probabilidad de cualquiera de esas 15 formas es siempre: $P(4B, 2M) = (0.25^4 \times 0.75^2)$. 3. La probabilidad de acertar cuatro preguntas contestando al azar se escribe: $P[X = 4]$ (donde 4 es el número de éxitos). Se calcula: $P[X = 4] = \binom{6}{4} \times 0.25^4 \times 0.75^2$. | Supongamos un experimento de distribución $B(n, p)$. Consideremos uno de los casos al obtener $K$ éxitos y $n-K$ fracasos: $A, A, \dots, A$ ($K$ veces) y $\bar{A}, \bar{A}, \dots, \bar{A}$ ($n-K$ veces) La probabilidad de esta secuencia específica es: $P(\text{secuencia}) = p^K \times q^{n-K}$. Todas las maneras posibles de obtener $K$ éxitos y $n – K$ fracasos es el número combinatorio $\binom{n}{K}$. Si $X$ es la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos, se tiene: Función de Probabilidad de la Distribución Binomial (o de Bernoulli): $$P(X = K) = \binom{n}{K} p^K q^{n-K}$$
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Parámetros de la Distribución Binomial
Media ($\mu$):
$$\mu = n \cdot p$$
Desviación Típica ($\sigma$):
$$\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q}$$
Ajuste de una Distribución Binomial
Las muestras que se obtienen de una población para investigar un fenómeno determinado pueden servir de base para buscar un modelo que nos explique y, sobre todo, nos permita prever futuras evoluciones del mismo.
Así, cuando se tenga cierta seguridad de que un experimento se rige por características binomiales, puede modelizarse ajustándolo a una distribución binomial, cuya probabilidad de éxito se calcula igualando su media teórica con la media muestral, es decir:
$$\bar{x} = n \cdot p$$