Ecuación ordinaria
4. Centro en (5, 1) y radio r = 3
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y forma general.
Datos: Centro C(h, k) = (5, 1) y radio r = 3.
1. Sustituir en la forma ordinaria Sustituye h=5, k=1, y r=3 en la ecuación ordinaria.
(x-5)² + (y-1)² = 3^2 (x-5)² + (y-1)² = 9
2. Desarrollar a la forma general Desarrolla los binomios al cuadrado. (x²- 10x + 25) + (y² – 2y + 1) = 9
3. Simplificar Transfiere el 9 al lado izquierdo y reduce términos semejantes.
Forma Ordinaria: (x-5)² + (y-1)² = 9
Forma General: x²+y²-10x-2y+17=0
5. Centro en C(-3, 4) y pasa por el punto
A(5, 1)
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia.
Datos: Centro C(h, k) = (-3, 4) y punto A(x_1, y_1) = (5, 1)
1. Calcular el radio r El radio es la distancia entre el centro
C y el punto A. Usa la fórmula de distancia: d = /(x_2-x_1)² + (y_2-y_1)² r = /(5 – (-3))² + (1 – 4)² r = /(8)² + (-3)² = /64 + 9 = /73
2. Sustituir en la forma ordinaria Sustituye h=-3, k=4, y r²=73 en la ecuación ordinaria. Nota: Al sustituir h=-3, (x-h) se convierte en (x-(-3)) = (x+3).
Resultado:
Forma Ordinaria:
(x+3)^2 + (y-4)^2 = 73
7. Extremos de un diámetro en A(-2, 1) y B(6, 5)
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia.
Datos: Extremos del diámetro A(-2, 1) y B(6, 5).
1. Encontrar el Centro C(h, k) El centro es el punto medio del diámetro AB. x_m = /x_1 + x_2}{2}, y_m = /y_1 + y_2}{2} h = /-2 + 6}{2} = /4}{2} = 2 k = /1 + 5{2} = /(6)(2) = 3 Centro C(2, 3).
2. Calcular el radio r El radio es la distancia del centro C(2, 3) a cualquiera de los extremos, por ejemplo A(-2, 1). R = /(-2 – 2)² + (1 – 3)² r = /(-4)² + (-2)² = /16 + 4} = /20
3. Sustituir en la forma ordinaria Sustituye h=2, k=3, y r^2=20 en la ecuación ordinaria.
Forma Ordinaria:
(x-2)² + (y-3)² = 20
8. Centro en C(2, 5) y tangente a la recta
3x + 4y – 1 = 0
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia.
Datos: Centro C(h, k) = (2, 5) y recta tangente 3x + 4y – 1 = 0.
1. Calcular el radio r El radio r es la distancia del centro C(2, 5) a la recta tangente. Usa la fórmula de la distancia de un punto (x_1, y_1) a una recta Ax + By + C = 0: d = / Ax_1 + By_1 + C
2. Sustituir en la forma ordinaria Sustituye h=2, k=5, y r²=5²=25 en la ecuación ordinaria.
Forma Ordinaria: (x-2)^2 + (y-5)^2 = 25
9. Circunferencia que pasa por los puntos A(1, 2), B(5, 4), y D(3, 8)
Objetivo: Encontrar la ecuación de la circunferencia (circunscrita al triángulo ABD).
Concepto Clave: El centro de la circunferencia circunscrita es el circuncentro, que es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.
Método de las Mediatrices (Resumen de los pasos en el texto):
Encontrar las mediatrices de dos lados del triángulo (por ejemplo, AB y BG o AD).
La mediatriz es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
Punto Medio P_med y Pendiente m_segmento del segmento.
Pendiente de la mediatriz med = -1/m_segmento).
Ecuación de la mediatriz (Usando el punto medio y la pendiente m_med).
El texto encuentra la mediatriz de un segmento AG (usado para la solución de A(1, 2), B(5, 2), G(3, 4) que se muestra después) y la mediatriz de BG.
Mediatriz de AG: x+y-5=0
Mediatriz de BG: x-y-1=0
Resolver el sistema de ecuaciones de las mediatrices para encontrar el centro C(h, k)
Sumando las dos ecuaciones
Sustituyendo x=3 en x+y-5=0
Ecuación Ordinaria
Centro C(h, k), radio r: (x-h)² + (y-k)² = r²Ecuación General Desarrollo de la forma ordinaria: x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Cálculo del Radio (r) Distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia.
Centro de Diámetro
Es el punto medio de los dos extremos del diámetro.Recta Tangente
El radio r es la distancia perpendicular del centro a la recta tangente.Circunferencia Circunscrita Su centro es el circuncentro, la intersección de las mediatrices de los lados del triángulo.
Forma Ordinaria (x-h)² + (y-k)² = r²
Forma General x² + y² + Dx + Ey + F=
Ecuación con Centro en el Origen C(0, 0)
Concepto: Usa la fórmula simple x² + y² = r².
Ejemplos (1.1 a 1.9): Simplemente sustituye el valor de r (o r²) para obtener la ecuación.
2. Ecuación con Centro C(h, k) y un Punto A(x-1, y-1)
Concepto: Primero, usa la fórmula de distancia entre C y A para calcular el radio r. Luego, sustituye C(h, k) y r² en la forma ordinaria.
Ejemplos (2.1 a 2.5): Sigue los pasos del Ejemplo 6.
3. Ecuación Tangente a una Recta
Concepto: El radio r es la distancia del centro C(h, k) a la recta tangente Ax + By + C = 0 (fórmula de distancia de un punto a una recta).
Ejemplos (3.1 a 3.5): Sigue los pasos del Ejemplo 8.
Circunferencia:
se define como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que siempre esta a la misma distancia de un punto fijo llamado centro
La distancia que hay del centro a cualquier punto se llama radio
cuando pongo (2) es porque es al cuadrado y no supe ponerlo
cuando es al origen de forma canónica (al origen)
PC= /x(2)+y(2)
(/x(2)+y(2))=r(2)
x(2)+y(2)=0
forma ordinaria: (x-h)(2)+(y-k)(2)
forma general: Ax(2)+Bxy+Cy(2)+Dx(2)+Ey+F=0
D= 2h
E=2k
F= h(2) + k(2) – r(2)
punto de tangencia: cuando comparten un solo punto
la circunferencia es una de las cinco secciones cónicas junto con la elipse, la recta, la parábola y la hipérbola
La ecuación ordinaria de la circunferencia es:
Donde:
es el radio de la circunferencia.
y 
son las coordenadas del centro de la circunferencia: 
(en vez de a y b se usa h y k)
- Determina la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 5 cuyo centro es el punto
La fórmula de la ecuación ordinaria de una circunferencia es:
Por tanto, solamente tenemos que sustituir la incógnita por el valor del radio, y las incógnitas y por las coordenadas X e Y respectivamente del centro de la circunferencia:
Así que la ecuación ordinaria de la circunferencia es:
finalmente conseguimos la ecuación general de la circunferencia:
Por lo tanto, la fórmula de la ecuación general de la circunferencia es:
Donde el centro de la circunferencia es:
Y el radio de la circunferencia es:
La ecuación canónica, o ecuación reducida, de una circunferencia sirve para describir cualquier circunferencia que tiene su centro en el origen de coordenadas, es decir, en el punto (0,0). Dicha ecuación es de la siguiente manera:
Si, además, el radio fuese equivalente a la unidad (1), la ecuación de la circunferencia sería:
